Küpe Giriş (4): Jacoby Paradoksu

Facebookmail

Küp konusunda şu ana kadar öğrendiklerimizi özetleyecek olursak;

Oyun küçük bir avantajla bile son atışa kalmışsa ve küpü kullanmak için son bir fırsat varsa, bu fırsatı kaçırmamak ve küpü katlamak gerekiyor dedik.

Böyle bir son atış pozisyonunda katlanan tarafın alış noktası 0,25 (%25). Yani yüzde 25 şansının olduğu durumda küpü kabul de etse pas da geçse bir şey değişmiyor. Madem son atıştan bahsediyoruz, 36 atışın 9’unda kazanma şansımız varsa (9/36= ¼= 0,25) katlama teklifini kabul etmek gerekiyor dedik.

Olay son iki atışa kalmışsa ve katlanan taraf biz isek ve küpü yeniden gönderme şansımız varsa, o zaman 0,25 kazanma şansımız olduğunda değil, 0,20 şansımız olduğunda dahi küpü kabul edebiliriz. Çünkü küpü elimizde tutmak bize ilave bir avantaj veriyor. Bir anlamda kazanma şansımız %5 eksik olsa dahi, o açığı küpü yeniden kullanabilecek durumda olmamızdan kaynaklı bir toleransımız var dedik.

Kısaca alış noktasını ölü küp için 0.25, diri küp içinse 0.20 olarak tespit ettik.

Oyunun son atışlara kaldığı bölümünü değil de genelini düşünecek olursak, eğer yüzde 25 lik kazanma şansı küpü almak için sınır ise rakibin de katlamak için üst sınırı bir şekilde yüzde 75 olmak zorunda. Dolayısıyla 0,75 kazanma şansı gören oyuncu, küpü katlayarak direkt puanı hanesine işleyebilir. Geçen yazımızda da belirttiğimiz gibi 100 metrelik bir parkur koşulacaksa, sonuna kadar koşmaya gerek yok. Küp merkezde iken iki tarafında hedefi 75 metre koşmak.

Diyelim ki küp sizde. O zaman ne olacak? Yanıt gayet basit: Siz 75 metre koşacaksınız rakip 100 metreyi sonuna kadar koşacak. Yani küp sahipliği koşu mesafesini azaltıyor. Bu durumda örneğin 2 de olan küpü 4’e katlarsanız, sizin almanız gereken mesafe 75’ den 100’e çıkarken rakibinizin alması gereken mesafe 100’den 75’e düşer. Dememiz o ki küpü yeniden katlamak merkezdeyken olduğu gibi tek taraflı değil, iki taraflı zarar ettiriyor. Bu nedenle yeniden katlama sürecinde daha dikkatli olmak lazım.

Şimdi aşağıdaki örneğe bakalım:

Örnek 5:

Beyaz 1 pip
Siyah 7 pip
Siyah küpü katlar. Beyaz alır mı pas mı geçer?
XGID=–A–A——————a-:1:1:1:D:0:0:3:0:10

KupeGiris-5

Diyeceksiniz Küpe Giriş (1) nolu yazıda bu pozisyonu zaten analiz etmiştiniz. Evet, doğru! Tek fark, küpün merkezde değil de Siyahta olması. Bu da son atış pozisyonu olduğu için mantık olarak bir şeyi değiştirmiyor. Yine son atış itibariyle küplü ve küpsüz hisse değerleri birbirine eşit.

Siyah 19/36 ihtimalle Beyaz da 17/36 ihtimalle kazanabilir. Oyun bu şekilde katlanmadan devam ederse Siyahın hisse değeri (19/36) – (17/36) = 2/36 = 0,0555 = 0,056 olacak. Eğer katlarsa hisse değeri bunun iki katı olacak. Yani 0,056X2= 0,111 olacak. Bu durumda katlamak elbette en makul seçenek.

Beyaz açısından ise hisse değeri (17/36) – (19/36) = -0,056 olacak. Bu durumda Beyazın önünde iki seçenek var: Gelen katlama teklifine ya pas deyip -1 olacak ya da kabul deyip -0,056 nın 2 katını yani -0,111 olmayı tercih edecek. Elbette -1 daha büyük bir kayıp. Bu nedenle Beyaz da teklifi kabul etmeli.

O halde anladık ki son atışta küpün kaçı gösterdiği önemli değil. Nihayetinde mevcut durumu katlıyorsunuz ve mantık aynı. Nitekim yukarıda sadece yüzde 53 bile olmayan bir kazanma şansı ile Siyahın yeniden katlaması lazım.

Şimdi örnek 6 ya bakalım:

Örnek 6:

Beyaz 6 pip
Siyah 7 pip
Atış Sırası Siyahta. Yeniden Katlamalı mı?
XGID=–A–A————-a——:1:1:1:D:0:0:3:0:10

Hemen belirtelim Siyahın buradaki kazanma şansı %64,51 Beyazın kazanma şansı %35,49. Bu durumda mantık gayet açık: Yukarıda yüzde 52,78 ile oyunu dörde katlayabiliyorsa burada haydi haydi katlamalı. Öyle mi acaba?

İsterseniz şöyle bir hesap yapalım: Siyahın ilk atışta 19/36 ihtimalle favori olduğunu artık ezberledik. Buna göre Siyah oyunu katlarsa ve Beyaz da kabul ederse aşağıdaki olası durumlar yaşanacak:

Siyah ilk turda (19/36)x4= 76/36 kazanır. Bu da 1296 oyun üzerinden 2736 puan kazanması demektir. (76/36)x (36/36)=2736/1296

Siyah 17/36 olasılık ile ilk turu ıskalarsa Beyaz 27/36 ihtimalle yani %75 kazanma şansı ile favori olacak. Bu size bir şey hatırlattı mı? Hemen söyleyelim: Beyaz %75 favori iken küpü çekerse Siyah, %25 olasılıkla kabul de dese pas da dese hiçbir şeyin fark etmeyeceği berbat bir durumda olacak. Böyle bir durum teorik açıdan küp/pas olarak değerlendirilir. Öteki türlü zaman kaybından başka bir şey olmayacaktır. Bu durumda kalan 17/36’nın yüzde 75’inde değil, yüzde 100’ünde (36/36) Beyaz favori demektir. Yani Beyaz 1296 oyunun sonunda (17/36)x (36/36)x4 = 2448/1296 kazanacak.

Netice olarak 1296 oyun sonunda Siyah 2736 puan, Beyaz da 2448 puan kazanma beklentisi içinde olacak. Başka bir deyişle Siyahın net beklentisi (hisse):

=(2736/1296)- (2448/1296)
= 288/1296
=0,222 şeklinde gerçekleşir.

Peki, Siyah yeniden katlamadan yoluna devam ederse? O zaman küpün Siyahta olmasından dolayı Beyazın katlama şansı olmayacak ve oyun küpsüz devam edecek. Başka bir deyişle %64,51 ile %35,49 geçerli olacak. Böyle bir durumda da Siyahın net beklentisi:

=0,6451-0,3549
=0,290 şeklinde olacak. Tabi ki küp 2’yi gösterdiği için bu rakamı 0,290×2= 0,580 olarak düşünmek lazım. Aksi durumda 0,222 ile kıyaslayamayız. Aslında cevabı da vermiş olduk. 0,580>0,222 olduğu için küpün yeniden katlanmaması daha makbul.

Aşağıda pozisyonun analiz sonucu var:

KupeGiris-6

Tablodan da görüldüğü gibi no redouble hissesi 0,292 iken redouble/take hissesi 0,111 yani küpü yeniden katlamak 0,292-0,111= 0,181 hisse kaybı yaratıyor. Diyeceksiniz ki siz yukarıda hisseleri 0,222 ve 0,580 olarak buldunuz ama?

Normalde eXtreme Gammon pozisyonu analiz ederken küpün 2, 4, 8…vb. kaçı gösterdiğinden ziyade mevcut durumun katlanmasını dikkate alır. Dolayısıyla mevcut durum 1 ise katlanmış hali de 2 dir. Biz küpün nominal değerlerini baz alarak sonucu görmenizi istedik. Yani 0,222’yi ve 0,580’i ikiye böldüğünüzde tablo değerlerine ulaşabilirsiniz.

Toparlayacak olursak ilk pozisyonda yüzde 53 ile yeniden katlayabiliyorsak, ikinci pozisyonda neden %65 ile katlayamadığımızın yanıtını bulmaya çalıştık. Durum paradoks gibi görünse de yakından bakınca öyle değil. Son iki atışa kalmış bir pozisyonda küpü yeniden katlarken hesabı dikkatli yapın. Bu küpü gönderdiğimde rakip bana tekrar iade ederse ne yaparım diye sorun. Eğer katladığınız küp karşınıza tekrar çıktığında pas demek zorunda kalacaksanız ya da katladığınız küp rakip açısından daha çok etkin şekilde kullanılabilecek durumda ise katlamadan yolunuza devam edin.

Nitekim Siyah sayımı baştan yapsa görecek ki rakibinin kazanmak için 27 atışı var. Yani sıra bir daha kendisine gelmeyecek. Yani ıskaladığı 17/36 atıştan sonra olay bitecek. Bunu baştan görse “Benim hissem (19-17)/36= 2/36. Dolayısıyla katladığım şey sadece 2/36’ nın kendisi. Yani katlarsam hissem 4/36= 0,111 olacak. Oysa küp bende ve küpsüz oynarsam kalan 17/36’nın içindeki payıma düşeni de alacağım” diyecek.

Hayat da tavla gibi değil mi? Katlayarak kazanma sevdasına fazla kaptırınca katlana katlana kaybediveriyoruz…

Not: Siyahın elbette üst üste 2-1 atma olasılığı var ve bu durum “yeniden katla/kabul” hissesinden ziyade “yeniden katlama” hissesini etkiliyor. Bu olasılık çok zayıf olduğu için etkisi de çok zayıf. Kafa karışıklığı yaratmamak için o etkiyi dikkate almadık.

Atila Malçok, Sabri Büyüksoy

Facebookmail
tavlavehayat on Facebooktavlavehayat on Youtube
tavlavehayat
Tavla ile hayatı örtüştürüp güzellikler aksettirmeyi hedefliyoruz.
---
For the sake of beauty we aim to interweave backgammon and life together.

Published by

tavlavehayat

Tavla ile hayatı örtüştürüp güzellikler aksettirmeyi hedefliyoruz. --- For the sake of beauty we aim to interweave backgammon and life together.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *