Küpe Giriş (2): Son İki Atış, Biraz da Hisse

Facebookmail

Bu bahiste basitmiş gibi görünen vidolu tavlanın sadece ikişer pul içeren bazı pul toplama hamlelerinde bile ne kadar karmaşık hale gelebileceğini göreceksiniz. Sakın şaşırmayın 🙂 Bunları makul sürelerde kafadan işlemlerle yapabileceğinizi keşfedince kendinizle övüneceksiniz. Sakın şişinmeyin 🙂

Önceki dersimizde yüzde 25 (0,25) kazanma şansı olduğunda küpün kabul edilmesi gerektiğini ve söz konusu olan son atış ise yüzde 50 nin üstünü görünce de katlamak gerektiğini öğrendik. Açıklamalar son atış bazlı olduğu için de hesap yapmakta çok zorlanmadık. Çünkü bir atışta zarlar tahtaya 36 şekilde düşebilir ve biz örneğin 19 atışta son iki pulu toplayabiliyorsak 19/36 = 0,527 = %52,7 ihtimale favoriyiz demektir. Peki, olay son atışta bitmiyorsa?

Örnek 2:

Beyaz 6 pip
Siyah 6 pip
Siyah küpü katlar mı? Beyaz alır mı?
XGID=—B——————b—:0:0:1:00:0:0:3:0:10

Burada 36 olası atışın 2 ve 1 içerenlerinde (2-2 hariç) Siyah, işi tek seferde bitiremeyecek. Yani düğüm Beyazın, Siyahın 36 atışının her birine vereceği 36 farklı cevapla şekillenecek. Kısaca 36 x 36 = 1296 farklı durum ortaya çıkabilir.

Soru şu: Bu 1296 durumun kaçında Siyah kazanabilir? Kaçında Beyaz kazanabilir. Biliyoruz ki Siyah yüzde 50’nin üstünde bir şans bulabilirse katlamalı, Beyaz da minimum yüzde 25 i yakalamalı.

Bu tarz işlemlerde 36 ile 36’yı kafadan nasıl çarpayım demeyin. 36 ile 36’nın çarpımının 1296 olduğunu ve 18 ile 18 in çarpımının 324 olduğunu, 324/1296’nın 0,25 (%25) olduğunu ezberleyin. Bunlar sizin için önemli referans olacaktır. Örneğin son iki atış için 324 ün altında bir kazanma olasılığı otomatik olarak 0,25 in altında bir rakam çıkacaktır. Şimdi konuya dönelim.

Atış sırası Siyahta olduğu için Beyazın kazanma olasılığı daha az. Bu yüzden bu tarz durumlarda hesabı şansı az olanın açısından yapmak daha pratik olacaktır. Buna göre Beyazın kazanabilmesi için öncelikle Siyah ilk atışta ıskalamalı. Yani yukarıda da belirttiğimiz gibi 2-2 haricinde içinde bir ve iki olan zarlar atmalı. Biliyoruz ki içinde bir ya da ikiden en az bir tanesi olan 20 tane durum var. Bu 20 olasılıktan 2-2 ye denk gelen bir atışı çıkarırsak Siyahın 19 atışta ıskalayacağını kolayca bulabiliriz. Bu durumda Siyah kalan 17 atışta iki pulu birden toplayabilir. Pullar simetrik olduğu için aynı rakamlar Beyaz için de geçerli.

O halde Beyazın kazanabilmesi için Siyah 19/36 ihtimalle ıskalamalı, Beyaz da 17/36 ihtimalle iki pulunu toplamalı. Bu iki olay arka arkaya gerçekleşmesi gerektiği için 17/36 ile 19/36 yı çarpmamız gerekir. Yani Beyazın kazanma olasılığı;

= 17/36 x 19/36
= 323 / 1296
= 0,2492
= %24,92

Bu durumda yüzde 25’ i yakalayamayan Beyaz gelen katlama teklifini pas geçmek zorunda. Bunun gibi bileşik olasılık hesabı içeren durumları iyi okumak gerekiyor. Aksi durumda sadece ilk atışı hesaplayıp Siyahın şansı sadece 17/36, burada oyun katlanmaz deyip büyük bir yanılgıya düşebilirdik.

Nitekim aşağıdaki tablo eXtremeGammon un pozisyona ilişkin değerlendirmesini gösteriyor.

KupeGiris-2

Beyazın kazanma şansı 24,92 ise bu durumda Siyahın şansı da 1 – 0,2492 = 0,7508 = %75,08. Bu rakamları bilmek zaten bir fikir veriyor. O zaman neden hisse farkı (equity) denilen yeni bir kavramla kafamızı karıştırıyorlar?

Her şeyden önce yukarıdaki örnekte ne Siyahın ne de Beyazın mars yapma şansları yok. Bu yüzden pozisyonu değerlendirmek çok zor değil. Şimdi farz edin ki şöyle bir durumla karşılaştınız: Siyahın kazanma şansı yüzde 55 ve bunun içinde yüzde 15 marsla, yüzde 1 katmerli marsla kazanma şansı olsun. Beyazın kazanma şansı da yüzde 45 ve bunun içinde yüzde 30 marsla, yüzde 3 katmerli marsla kazanma olasılığı olsun.

Böyle bir durumda Siyahın şansı 55, Beyazın şansı 45. O halde Siyah avantajlı dersek doğru olur mu? Yanıt gayet net: Elbette doğru olmaz; çünkü marsları ve katmerli marsları dikkate almadan yapacağımız bu değerlendirme bizi yanıltır. Ne yapacağız o zaman?

Siyahın ve Beyazın kazanma şanslarını bileşenlerine ayıracağız:
• Siyahın katmerli mars beklentisi = %1 = 0,01
• Siyahın mars beklentisi = %15= 0,15
• Yüzde 55 in 16 (15+1) lık kısmında mars ve katmerli mars beklentisi varsa 55-16 = 39’luk kısmında tek oyun beklentisi var demektir. Toparlayacak olursak Siyah 1×3 = 3 puan katmerli marstan, 15×2 = 30 puan marslardan, 39 puan da tek oyunlardan olmak üzere toplamda 3+30+39 = 72 puan bekliyor.

Aynı mantıkla Beyaz da 9 puan katmerli marslardan, 60 puan marslardan, 12 puanda tek oyunlardan olmak üzere 9+60+12= 81 puan bekliyor. Bu durumda 55 ve 45 i değil 72 ile 81 i kıyaslamak daha mantıklı bir yol. O halde Siyah için;

Kazanma beklentisi – Kaybetme beklentisi = 72 – 81 = -9 yani Siyahın söz konusu oyundaki hissesi (equity) -9 dur. Özetle hisse, pozisyonu değerlendirmenin şu an için en doğru yoludur.

Şimdi örnek 2 ye dönelim. İki taraf için de mars ya da katmerli mars olasılığı kalmadığı için Siyahın hissesi = 0,7508 – 0,2492 = 0,5016 = 0,502 dir. Beyazın hissesi de tahmin edeceğiniz gibi bunu negatifidir. Yani 0,242 – 0,7508 = -0,5016 dır.

Buna göre Siyah oyunu ikiye katlarsa ve Beyaz da kabul ederse 0,5016 X 2 = 1,003 puan kazanma beklentisi içinde olur. Dikkat edin oyunu kaça katladıysam hissemi o rakamla çarpıyorum. Yani Beyaz bu pozisyonda katlama teklifini kabul ederek oyun başına 0,003 kadar zarar eder. Başka bir deyişle Beyaz pas geçerek 1,000= 1 puan vermek yerine 1,003 puan vermeye razı olmuş olur.

Siyah ise katlamadan yoluna devam ederse 0,502 puanlık bir beklentiye razı olmuş olur. Oysa katlasa ve rakibi pas geçse direkt 1,000 puanı haneye yazacak. Yani oyunu katlamayarak 1,000 – 0,5016 = 0,498 lik bir zararı göze almış olur ki buna büyük hata değil çam devirme denir.

Şöyle de düşünebilirsiniz: Bu pozisyonu 1000 defa oynarsanız ve Beyaz olarak her seferinde pas geçmek yerine katlamayı kabul ederseniz 1000 puan yerine 1003 puan kaybedersiniz. Yani anlattıklarımız sınırsız oynanan bir oyun için geçerli. Diyelim ki 13 puanlık bir turnuva maçında 11-0 geridesiniz ve rakip aynen bu pozisyonda küpü önünüze koydu. Hemen söyleyelim, pas derseniz 12-0 geri düşeceksiniz ve oyun Crawford aşamasına gelecek. Açıklamasını daha sonra yapacağız ama şimdilik 12-0 yenik olduğunuz böyle bir skorda maçı kazanma şansınız yüzde 3 bile olmayacak. O zaman yüzde 3 ü zorlamak mı yoksa yüzde 24,92 ihtimalle dört puanı haneye yazıp skoru 11-4 e getirerek maçı kazanma şansını yüzde 10 a doğru taşımak mı? Buna biraz kafa yorun biz son iki atışa ilişkin bir örnek daha çözelim.

Örnek 3:

Beyaz 7 pip
Siyah 7 pip
Siyah küpü katlar mı? Beyaz alır mı?
XGID=—AA—————-aa—:0:0:1:00:0:0:3:0:10

KupeGiris-3

Atış sırası Siyahta ve iki pulu ilk atışta alabilmek için sadece 17 atışı var. Bunu 2 ve 1 içeren 20 tane atışı 36’dan çıkarıp 22’yi ekleyerek kolayca bulabiliriz. Ama oyun tıpkı ilk örnekte olduğu gibi birinci atışta bitmeyecek. Beyazın kazanabilmesi için Siyah 19/36 ihtimalle ıskalamalı ve Beyaz da 17/36 ihtimalle iki pulu birden kaldırabilmeli. Bu durum Beyaza (19×17)/1296 = 323/1296 = 0,2492 kazanma şansı veriyor.

“İyi de biz bu rakamı ilk örnekte de bulduk ve Beyazın pas geçmesi gerektiğine karar verdik dediğinizi” duyuyoruz. Devam edelim. Burada küçük bir ayrıntı daha var: Siyah iki kez üst üste 2-1 atabilir. Yani Siyah 2/36 ihtimalle 2-1 atınca, Beyaz 19/36 ihtimalle ıskalasa dahi Siyah ardından yine 2/36 ihtimale 2-1 atabilir. Bu da kabaca yüzde 25 i yakalayacak duruma getirir.

Meraklısı için de şöyle bir hesap yapabiliriz:
• Birinci durumda Beyazın kazanması için 323/1296 ihtimal olduğunu biliyoruz. Bunu kenara yazalım
• İkinci durumda ise Siyah 2/36 ihtimalle 2-1 atınca, Beyaz 19/36 ihtimalle ıskalıyor, ardından Siyah yine 2/36 ihtimalle 2-1 atıyor ve Beyaz 36/36 ihtimalle kazanıyor. Ancak Beyazın 19/36’lık ilk atışının içinde 2-1 de var. Yani orada 2-1 atarsa ikinci atışta 36/36 ihtimalle alamaz. Başka bir deyişle son atışta 36/36 olabilmesi 2-1 haricindeki kalan 17/36 için geçerli.
= (2/36) x (17/36) x (2/36) x (36/36)
= 2448 / 1679616
• Eğer Beyaz da ilk atışta 2-1 atarsa kazanabilmesi için son atışta 2-1 haricinde bir şey atmalı. Bunun olasılığı da 34/36. O halde sırasıyla
=(2/36) x (2/36) x (2/36) x (34/36)
= 272 / 1679616

Toplayacak olursak;
= 323/1296 + 2448/1679616 + 272/1679616
= (418608 + 2448 + 272) / 1679616
= 0,25085
= %25,08
Bu hesabı canlı oyunda yapabilecek oyuncu yoktur diye iddialı konuşmayalım ama elbette oldukça zor. Önemli olan ilk bakışta 323/1296 ’yı yakaladığımızı görünce ve 324/1296 ‘nın 0,25 olduğunu bilince 323/1296 ile 0,25 e çok yaklaştığımızı görebilmek. Bu durumda Siyahın arka arkaya atacağı 2-1 ’lerinin bu küçük açığı kapatabileceğini sezmek çok zor olmasa gerek.

Atila Malçok, Sabri Büyüksoy

Facebookmail
tavlavehayat on Facebooktavlavehayat on Youtube
tavlavehayat
Tavla ile hayatı örtüştürüp güzellikler aksettirmeyi hedefliyoruz.
---
For the sake of beauty we aim to interweave backgammon and life together.

Published by

tavlavehayat

Tavla ile hayatı örtüştürüp güzellikler aksettirmeyi hedefliyoruz. --- For the sake of beauty we aim to interweave backgammon and life together.

3 thoughts on “Küpe Giriş (2): Son İki Atış, Biraz da Hisse”

  1. Merhaba, Extreme Gammon analizi konusunda derinlemesine yaptığınız yorumlardan dolayı içinden çıkamadığım bir soru sormak istiyorum 🙂 Aşağıda txt olarak export ettiğim analiz sonucu var.
    Anlamadığın analiz sonucunda her türlü Oyun, Mars, Katmerli Mars kazanma olasılıklarının daha yüksek olduğu 2. oynama alternatifinin hisse değerinin neden daha düşük olduğu.

    Gerçek oyundada ben 2. oyunu tercih etmiştim ve o oyunu kaybettim 🙂

    TXT Export :

    XGID=a-C-CBCB—–Ba-b–ccc-b–:0:0:1:41:1:3:0:5:10

    X:Player 1 O:Player 2
    Score is X:1 O:3 5 pt.(s) match.
    +13-14-15-16-17-18——19-20-21-22-23-24-+
    | X O O | | O O O O |
    | X O | | O O O O |
    | | | O O O |
    | | | |
    | | | |
    | |BAR| |
    | | O | |
    | | | |
    | | | X X X |
    | X | | X X X X |
    | X | | X X X X |
    +12-11-10–9–8–7——-6–5–4–3–2–1-+
    Pip count X: 86 O: 103 X-O: 1-3/5
    Cube: 1
    X to play 41

    1. Rollout¹ 13/12 6/2 eq:+0,989
    Player: 82,17% (G:4,35% B:0,06%)
    Opponent: 17,83% (G:0,71% B:0,02%)
    Confidence: ±0,001 (+0,988..+0,990) – [100,0%]
    Duration: 48,4 seconds

    2. Rollout¹ 7/3 4/3 eq:+0,947 (-0,042)
    Player: 88,20% (G:12,34% B:0,11%)
    Opponent: 11,80% (G:1,01% B:0,03%)
    Confidence: ±0,002 (+0,945..+0,948) – [0,0%]
    Duration: 4 minutes 58 seconds

    3. 6-ply 13/9 6/5 eq:+0,899 (-0,090)
    Player: 83,61% (G:7,46% B:0,09%)
    Opponent: 16,39% (G:1,59% B:0,04%)

    4. 4-ply 13/8 eq:+0,898 (-0,091)
    Player: 83,43% (G:7,28% B:0,10%)
    Opponent: 16,57% (G:1,73% B:0,05%)

    5. 3-ply 13/12 13/9 eq:+0,902 (-0,087)
    Player: 83,76% (G:7,60% B:0,09%)
    Opponent: 16,24% (G:1,26% B:0,02%)

    ¹ 5184 Games rolled with Variance Reduction.
    Moves: 3-ply, cube decisions: XG Roller

    eXtreme Gammon Version: 2.10, MET: Kazaross XG2

    1. Berkant Bey merhaba,

      Teşekkür ederim, sorunuzu yakında http://oyun.tavlavehayat.com sitemizde yayınlayacağım. Bu sitenin bir amacı da bu tip iletişimi desteklemek. bgonline gibi ne kadar oyuncuyu bir araya getirebilirsek o kadar faydalı paylaşımlar olacaktır. Aksi taktirde biz yetişemeyiz ve boşlamaya başlarız.

      İyi çalışmalar,
      Sabri

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *