Küpe Giriş (1): Son Atışta Katlama

Facebookmail

İngilizce ‘de Backgammon olarak tabir edilen ve bizim Modern/Vidolu Tavla olarak adlandırdığımız oyunun ülkemizde ve yakın coğrafyamızda Tavla/Portes/Nard/… olarak oynanan geleneksel oyundan en büyük farkı, oyunu değerinin iki misline katlama veya o anki değerinden bırakma önerisi getirilebilmesidir. Yukarıda resmi görülen küp şeklinde bir aygıt kullanarak ifade edilebilen bu öneri sistemi sayesinde bir pozisyonda en iyi hamleyi bulmayı içeren tavla, hangi hamlenin ne kadar getirisi olacağını tahmin edebilme yönüyle ayrı bir boyuta sıçramıştır. Ayrıca şans faktörünün ürettiği çalkantılara karşı bir sigorta sistemi ve uzun vadeyi daha kısa sürede elde etme imkanları da ortaya çıkmıştır. Bu yazı dizisinde 1920 ‘lerde Amerika ‘da ortaya çıkıp dünya tavla camiasına mal olmuş küp kullanma olarak tabir edilen katlama yönteminin oyunun çeşitli bölümlerinde hem pratik hem de matematiksel olarak kullanımı ile ilgili yazacağız.

Oswald Jacoby, John Crawford ile birlikte yazdıkları “The Backgammon Book” da “Katlama özelliği olmasa, çok az insan tavla oynuyor olurdu, belki de bu kitap yazılmazdı” diyor. Küp, sadece kazanılacak puanları değil, oyundaki heyecanı da katlayarak zirveye çıkaran stratejik bir bileşen.

Pul oyununda ne kadar iyi olursanız olun küp kullanmada zayıfsanız başarılı olabilme ihtimaliniz yoktur. Pul oyununda sizin kadar iyi olmayan ama küpü sizden daha iyi kullanan bir rakip sizi pek ala yenebilir.

Bilindiği üzere modern tavlada tek oyun ve marsın dışında bir de üç puana denk gelen katmerli mars var. Bütün pullarınızı topladığınızda rakip hiç pul toplayamamış ve sizin evinizde en az bir pulu kalmış ise üç puan kazanırsınız. Yani rakibin bir kapısından kaçmayıp, açık yakalamaya çalışmanın ekstra bir bedeli var. Neyse, konumuz bu değil. Şunu anlatmaya çalışıyoruz: Oyun ikiye katlanmış ise iki katı, dörde katlanmış ise dört katı puan alırsınız. Örneğin ikiye katlanmış bir oyunda mars yaparsanız 2X2=4 puan, katmerli mars yaparsanız 3X2=6 puan kazanırsınız.

Peki, oyun nasıl katlanır?

Oyun tavla tahtasında duran küp (vido) dediğimiz büyük zar kullanılarak katlanır. Bu büyük zarın yüzeyinde 2, 4, 8, 16, 32, 64 şeklinde ikiden başlayıp her seferinde ikiye katlanarak giden sayılar vardır. Oyun başlarken küp, üst yüzeyi 64 ü gösterecek şekilde kenarda (merkezde, ortada) durur. Oyun başladıktan sonra atışta olan oyuncu kendini avantajlı görüyorsa atışını yapmadan önce oyunu katlamayı önerebilir. Bunu yapmanın resmi yolu şu şekildedir: Küpü kenardan alır ve 2 yazan yüzeyi üste gelecek şekilde rakibinin sağındaki kadrana koyar. Herhangi bir oyuncu oyunun herhangi bir aşamasında katlama teklif edebilir. Son pulların toplanacağı son atışlar dahil. Artık düşünme sırası rakiptedir. Rakibin iki seçeneği vardır: Ya katlamayı kabul edecektir ya da pas geçecektir. Hemen belirtelim ilk katlayan kişi 2 den başlamak zorundadır. Yani kafasına göre ben 64 e katlamak istiyorum diyemez.

Rakip dezavantajlı olduğunu düşünüp pas derse katlayan taraf 1 puan kazanır ve oyun yeniden başlar. Rakip katlama teklifini kabul ederse ki bunu ifade etmenin resmi yolu küpü alıp kendi sağındaki pul toplama bölgesine koymaktır. Bu durumda katlama teklif eden taraf zarını atar ve oyun devam eder. Artık alınan puanlar iki ile çarpılacaktır.

İşin en önemli boyutu ise katlama hakkının rakibe geçmiş olmasıdır. Artık küp ortada değil, rakibin sağ yanında ve kullanma hakkı ona ait. İlerleyen aşamalarda oyun döner ve rakip avantajlı duruma gelirse oyunu 4 e katlayabilir. Rakip dörde katladığında önünüzde yine iki seçenek olacaktır: Ya pas geçerek rakibe 2 puan verirsiniz ya da teklifi kabul ederek oyunu dört kat üzerinden oynamaya devam edersiniz. Yani mars olduğunuzda 2X4=8 puan kaybetmeyi göze alırsınız. Katlama süreci bu şekilde işler ancak turnuvalarda oyunun 8 e katlanması nadir, 16 ya katlanması çok ender bir durumdur.

Özetle katlama teklif etmek de katlamayı kabul etmek de tam bir beladır. Katlamayı her teklif edişinizde küpün iki ile çarpılmış vaziyette geri gelme ihtimalini çok iyi düşünmelisiniz. Katlamayı kabul ettiğinizde bir marsla dört puan geriye düşebilme ihtimalini iyi okumanız gerekir. Özetle oyunun ne zaman katlanacağı, katlama teklifinin ne zaman kabul edileceği tavlanın en muammalı kısımlarından biridir.

Şimdi en basitinden başlayarak yolculuğa başlayalım. Küp kararına ilişkin en basit durum işin son zarlara kaldığı durumdur. Son atışı yapacaksınız ve katlamak için son fırsat. Ne sizin ne de rakibin katlamak için artık fırsatı olmayacak.

Örnek 1:

Beyaz 2 pip
Siyah 7 pip
Siyah ‘ın küp kararı nedir? Siyah katlama/küp önerirse Beyaz ‘ın cevabı ne olmalıdır?
XGID=–A–A——————b-:0:0:1:00:0:0:3:0:10

Küp ortada ve 1 i gösteriyor. Hani 64 ü göstermesi gerekiyordu? Günümüzde kullanılan küplerin büyük kısmı 2 den başlayıp 64 e kadar gidiyor. Ama 1, 2, 4, 8, 16, 32 diye giden bir küp görürseniz de şaşırmayın. Nadir olmakla birlikte bu şekilde dizayn edilmiş küpler de kullanılmaktadır.

Şimdi gelelim asıl mevzuya: Sıra Siyahta ve küpü katlamalı mı? Toplamda 36 atış, olduğunu ve iki zardan birinin istediğimiz bir sayı olma olasılığının 36 da 11 yani 11/36 olduğunu biliyoruz. Benzer şekilde iki zardan birinin istediğimiz iki sayıdan biri olma olasılığının da 20/36 olduğunu öğrenmiştik. Bu durumda Siyah beş noktasındaki pulu kaldırabilmek için en az 5 ya da 6 dan birini atmalı. Bunun ihtimali 20/36. Yalnız 6-1 ve 5-1 çalışmadığı için söz konusu dört atışı çıkaralım kaldı 16/36. 44, 33, 22 gibi çiftleri eklediğimizde 19/36 buluruz. Özetle Siyah, 36 atışın 19 unda oyunu kazanacak geri kalan 17 sinde kaybedecek. Daha doğrusu ortalama anlamda böyle bir beklenti içerisinde olacak.

Bu ne anlama geliyor? Siyah katlamadan yoluna devam ederse 36 oyunun sonunda +2 (19-17) almış olacak. Yani oyun başına 2/36= 0,056 lık bir artısı olacak. Oysa atışı yapmadan önce katlarsa ve Beyaz da kabul ederse pozisyon 36 kez oynandığında 38 puan alıp 34 puan kaybedecek. Yani 38-34=4 puan artıda olacak. Başka bir deyişle oyun başına 0,11 lik artısı olacak. Sonuç gayet net: Siyah kesinlikle katlamalı.

Peki, Beyaz açısından durum nedir? Katlama teklifini kabul etmeli mi? Pozisyonu 36 kez oynayacağımızı varsayarsak Beyaz her seferinde küpü çevirerek 36 puan kaybeder. Ama kabul ederse 38 kaybedip, 34 kazanarak net 4 puan zararda olur. Bu durumda tercihiniz -36 mı, -4 mü? Şüphesiz -4 birinci tercih. Yani Beyaz bu teklifi kabul etmeli.

Bu durumda oyunu kazanma olasılığımız rakipten az bir şey fazla olsa bile küpü katlamalıyız diyebilir miyiz? Eğer iki taraf için de mars olma ya da yapma olasılığı kalmadıysa ve küpün yeniden katlanması söz konusu değilse yani oyun son atışlara kaldıysa evet, küçük bir farkla dahi olsa öndeyseniz katlayabilirsiniz.

Peki, katlamak için yüzde 50 nin üstünü bulmak yeterli bunu anladık ama son atışta Beyaz için kabul sınırı nedir? Bir ölçüsü var mı? Yoksa her seferinde yukarıdakine benzer bir hesap mı yapmamız lazım?

İşin özü şu: Daha önce de açıkladığımız gibi Beyazın kabul sınırı (take point) yüzde 25. Beyaz yüzde 25 ve üzerinde bir kazanma şansı gördüğünde küpü kabul etmeli. Dört oyun oynandığını düşünün. Beyaz dördünde de yüzde 25 şansı varken pas geçerse dört puan kaybeder. Ama katlamayı kabul ederse yüzde 25 olasılıkla, dört oyundan birini kazanması beklenir. Bu durumda 6 puan kaybedip 2 puan kazanarak yine net 4 puan kaybeder. Özetle yüzde 25 kazanma şansı olduğunda her seferinde pas geçmek ile kabul etmek arasında bir fark yoktur. Bu yüzden yüzde 25, kırılma noktası yani kabul sınırıdır. Tabi ki son atış için.

Meraklısına!

Yüzde 25 in kökenini biraz daha merak edenler için de şunları söyleyebiliriz: Katlama teklifini pas geçerek ve kabul ederek elde edeceğiniz sonuçları kıyaslarsınız. Bu durumda küpü kabul edebilmek için kabul ettiğinizdeki sonucun daha büyük olmasını istersiniz. Küpü pas geçerek ulaşacağınız sonuç gayet net: Bir puan kaybedersiniz yani -1 olursunuz.

Kazanma olasılığınızı p ile gösterecek olursak kaybetme olasılığınız 1-p olur. Örneğin kazanma olasılığınız yüzde 70 (0,70) ise kaybetme olasılığınız yüzde 30 (1-0,70= 0,30) olur. Bu durumda oyun ikiye katlanmış ise 2p kazanmayı beklersiniz. 2(1-p) kadar da kaybetmeyi beklersiniz. Bu durumda küpü kabul ederek bekleyeceğiniz net sonuç: 2p- 2(1-p) kadardır.

O halde küpü kabul ederek elde edeceğiniz net sonuç en kötü ihtimalle pas geçerek elde edeceğiniz sonuca eşit olmalı, iyi ihtimalle de büyük olmalı:

2p-2(1-p)≥ -1

2p-2+2p ≥ -1

4p ≥ 1

p≥ ¼

p≥ 0,25 olmalı.

Atila Malçok, Sabri Büyüksoy

Facebookmail
tavlavehayat on Facebooktavlavehayat on Youtube
tavlavehayat
Tavla ile hayatı örtüştürüp güzellikler aksettirmeyi hedefliyoruz.
---
For the sake of beauty we aim to interweave backgammon and life together.

Published by

tavlavehayat

Tavla ile hayatı örtüştürüp güzellikler aksettirmeyi hedefliyoruz. --- For the sake of beauty we aim to interweave backgammon and life together.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *