Bir İhtimal Daha Var: Tavlada Olasılık ve Zar (Atış) Sayma

Facebookmail

Tavla öyle bir oyun ki yenilip masadan kalkan çoğu oyuncu,  rakibinin şanslı olduğundan dem vurarak kendisini teselli etmeyi seçer. Bu yüzden tavla “bir şans oyunu” damgasını yemiştir maalesef. Sıradan oyuncular genellikle kendi attıkları şanslı zarları görmezden gelip rakiplerinin son anda attığı birkaç şanslı zara odaklandıkları için şans oyunu damgasını vurarak kendilerini savunma yoluna giderken usta oyuncular attıkları her bir zarda en iyi hamleyi bulma arayışı içindedirler. Tavlanın gerisindeki temel matematiği, ilkeleri, stratejileri, taktikleri, psikolojiyi çok iyi bilir ve ona göre oynarlar.

Tavla temelde olasılığa dayalı bir oyundur. Bugün bu alandaki yazılımlar sayesinde herhangi bir pozisyonda oyunu kazanma olasılığı, mars olma olasılığı, hisse değerlerindeki değişimler vb. birçok konuda tahminler yapılabilmektedir. Bu nedenle en azından tavla ile ilgili temel olasılık konularına hakim olmak, sizi oyun esnasında doğru hamle yapmaya bir adım daha yaklaştıracaktır.

Tavlanın iki zarla oynandığını biliyoruz. Şimdi bu zarlardan birinin kırmızı diğerinin beyaz olduğunu varsayar isek bir çift zar aşağıdaki şekillerde tahtaya düşebilir.

backgammon-dice-probability

Şekilde de görüldüğü gibi toplamda 36 tane olay gerçekleşebilir. Dikkatle baktığınızda ise örneğin 2-1 zarının tahtaya iki şekilde düşebileceğini görürsünüz:

  • • Kırmızı zar 1, Beyaz zar 2, veya
  • • Kırmızı zar 2, Beyaz zar 1 şeklinde.

Bu nedenle 2-1 zarının gelme olasılığı 36 da 2 yani 2/36 dır. Biz oynarken hangi renkteki zar ile hangi sayı gelmiş ona bakmayız. Dolayısı ile pratikte hangi şekilde düşerse düşsün nihayetinde 2-1 oynarız ancak; bir atışta 2-1 zarının gelme olasılığının 36 da 1 değil, 36 da 2 olduğunu bilmemiz gerekir.

Çift zarlar ise tahtaya tek şekilde düşebilir. Yani olasılık 1/36 dır.

Bu durumda kaç atışta vurulabileceğinizi, vurabileceğinizi, pullarınızı toplayabileceğinizi ya da kırık pulunuzu içeri girebileceğinizi hesaplarken şu hususlara dikkat ediniz:

  • • Yukarıda da açıklandığı gibi çift zarların gelme olasılığı 1/36, çift olmayan zarların gelme olasılığı ise 2/36 dır. Bu nedenle zar(atış) sayarken çift zarları tek olarak, çift olmayan zarları 2 atış olarak hesaplayın.
  • • Bir atışta en az iki zardan birinin istediğimiz bir sayı olma olasılığı, örneğin 5 olma olasılığı zarların tahtaya (5-1), (1-5), (5-2), (2-5), (5-3), (3-5), (5-4), (4-5), (6-5), (5-6), (5-5) şeklinde düşebileceğinden hareketle 11/36 dır. Yani toplamda 11 ihtimal var. Bu rakamı ezberlemeniz zar (atış) sayarken işinizi büyük ölçüde kolaylaştıracaktır.
  • • Şimdi de barda kırık bir pulunuz olsun ve rakibin sadece 2 ve 5 kapıları açık olsun. Bu durumda bir atışta iki zardan en az birinin 2 veya 5 gelme olasılığı nedir? 5 gelme olasılığı 11/36 ise 2 gelme olasılığı da 11/36 ancak; (5-2) ve (2-5) zarları ikisinde de ortak. Dolayısıyla mükerrer sayım yapmamak için bu iki zarı 5 te saymış isek 2 de saymayacağız. Yani 11 atış 5 ten geliyor, 9 atış da 2 den geliyor toplamda 36 atışın 20 sinde (20/36) yani %55,5 ihtimalle en az iki sayıdan biri herhangi bir renkteki zar ile tahtaya düşebilir. Yine 20/36 rakamını da ezberlemenizi tavsiye ediyoruz.
  • • Eğer 2, 5 veya 6 ya ihtiyacımız olsa idi bu kez de 6 için 7 atış daha ilave etmemiz gerekecekti. Yani olasılık 27/36 = 0,75 = %75 olacaktı. Dikkat ettiyseniz her bir ilave sayıda 11 den başlayıp ikişer düşerek ilave ediyoruz.
  • • Örneğin 6 pip uzaktaki bir pulu vurmak istiyorsunuz. Bu durumda iki zardan ez az bir tanesi 6 gelmeli ancak; atışları sayarken toplamı 6 eden zarları da atlamamalısınız.

Şimdi aşağıdaki örnekler ile hem biraz pratik yapalım hem de zar saymanın önemini anlamaya çalışalım.

Kısa bir açıklama: Bilindiği üzere modern tavlada oyunlar iki ana grupta toplanır: Belirli bir sayı üzerinden oynanan oyunlar (maç oyunları, match play) ve limitsiz oyunlar (paralı oyun, money game) olmak üzere. Limitsiz oyunda her puan eşit öneme sahiptir ve şimdilik oyunların merkez noktası gibi düşünülebilir. Mars hayati önem taşımadığı gibi mars olmak da abartılı bir dezavantaj sunmaz. Limitsiz oyunu orta noktaya koyarsanız emniyetli oyun bir uçta, atak oyun diğer uçta yer alır. Yani limitsiz oyun, atak ya da güvenli oynamanız gereken çeşitli maç skorlarında bir ölçü birimi olarak da düşünülebilir. Bundan sonra inceleyeceğimiz her pozisyonun limitsiz oyun formatında olacaktır.

Örnek 1

Beyaz 75 pip / Limitsiz Oyun
Siyah 74 pip
Siyah 6-1 oynayacak
XGID=-BBBBBC—a–B—–cdcbb–:0:0:1:16:0:0:3:0:10

Siyah 6-1 attı ve mecburen ortakapı ‘yı (13) açmak zorunda. 6 yı zorunlu olarak 13 den 7 ye (13/7) oynamak zorunda. 1 için ise iki rasyonel seçenek var: Harekete devam ederek içeri girmek (7/6) ya da ortakapıda kalan pulu aşağı inmek (13/12).

Siyah, Beyazı vurma şansını kaçırdı ve şu anda açık vermek zorunda. Vurulması büyük olasılıkla oyunu kaybetmesine neden olacak. Ya 3 pip (hane) uzaklıkta aynı yerinde kalacak ya da bir hane daha yaklaşarak 2 pip uzaklıkta kalmayı tercih edecek.

13 noktasında kalmayı tercih ederse Beyazın vurma olasılığı nedir? Yukarıdaki bilgiler ışığında 3 atma olasılığının 11/36 olduğunu biliyoruz. Bundan sonra bu şekilde tahtaya düşen zarın tek kısmını kullanarak rakip pulu doğrudan kırabildiğimiz atışlara direkt atış diyeceğiz. Dolayısı ile Beyazın şu anda 11 direkt atışı var. Buna ilave olarak toplamı 3 yapan iki atış daha var: 1-1 ve 2-1. Bu şekilde 2 zarın kombine edilmesi ile rakip pulu kırabildiğimiz atışlara ise dolaylı atış diyeceğiz. Çift zarları tek, çift olmayan zarları 2 atış olarak saymamız gerektiğine göre Beyazın 13 deki pulu kıran 3 tane daha dolaylı atışı var. Toplamda 11+3 = 14 tane atış ile Siyahı kırabilir. Başka bir deyişle Beyazın bir atışta Siyahı kırma olasılığı 14/36 = 0,39 (%39) dur.

13/12 yaparak 2 pip uzaklıkta kalmayı tercih ederse ne olur? Bu durumda Beyaz 2 atarak direkt kırabilir ki bu 11 atış demek. İlave olarak toplamı iki yapan tek bir atış var: o da 1-1. Yani toplamda Siyahı kırmak için 12 atışı olacak (12/36 = 0,33 = %33).

Görüldüğü gibi Siyahın tercih etmesi gereken hamle kesinlikle 13/12.

Şimdi ikinci örneğimizde çifte atış ile tehdit edildiğimiz duruma bakalım:

Örnek 2

Beyaz 96 pip
Siyah 62 pip
Siyah 4-3 oynayacak
XGID=-EBCC——b–b-B–cbbbb–:0:0:1:34:0:0:3:0:10

Siyah açık vermemek için sürekli içeriden sallamayı tercih etti ve en sonunda kredisini bitirerek 4-3 attı. 4 ile zorunlu olarak 16/12 oynayacak. 3 için ise 4/1 haricinde iki seçeneği var: Birincisi 12/9 yaparak ilerlemeye devam etmek ve 16 da kalan tek açığı çifte atışa maruz bırakmak, ikincisi 16/13 yaparak iki açığı tek atışa maruz bırakmak.

Birinci seçenekte vurulma olasılığı nedir? 16 daki açık, 5 veya 2 ile doğrudan vurulabilir ve biz, en az iki zardan birinin gelme olasılığının 20/36 yani 20 atış olduğunu biliyoruz. Toplamı 5 veya 2 eden zarlarla da dolaylı yoldan vurabilir. Bunlar; 4-1 ve 1-1 zarları ve 3 ilave atış demek. Toplamda Siyah 23 atış ile vurulabilir (23/36). Dikkat edin toplamı 5 yapan 3-2 zarını saymadık çünkü içinde 2 olduğu için zaten 20 nin içinde sayılmıştı.

İkinci seçenekte ise Siyah 2 veya 1 zarları ile direkt vurulabilir ve daha önceden ezberlediğimiz için bu iki sayıdan en az birinin gelme olasılığının 20/36 olduğunu biliyoruz.

İki seçeneği birbiri ile kıyaslayınca ikinci alternatifi seçmek, rakibe 3 tane daha az atış hakkı bırakmak demek ve tercih edilmesi gereken hamle. Burada dikkatli bir okuyucu iki açığın ikisisi de vurulursa mars olma ihtimali artmaz mı? Diye sorgulayabilir. Doğrudur, mars olma ihtimali artar ancak; daha az ihtimalle kırılacak olmasından kaynaklı olarak oyunu kazanma ihtimali de onu telafi edip aşacak kadar artar. Nitekim limitsiz oyunlarda daha sonra detaylı olarak açıklayacağımız üzere mars yapmak için fazla riske girmeye veya mars olmaktan fazla korkmaya, maç oyunlarının bazı özel skorlarında dikkat edeceğimiz kadar gerek yoktur.

Buraya kadar 1 hane uzaklıktaki bir pulu kırma ihtimalinin 11/36, 2 hane uzaklıktaki bir pulu kırma ihtimalinin 12/36 olduğunu öğrendik. Şimdi diğer mesafelerdeki bir pulu kaç atışta kırabileceğimizi bir tablo haline getirelim.

Mesafe (pip) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 16 20 24
Atış 11 12 14 15 15 17 6 6 5 3 2 3 1 1 1 1

Bu tabloyu ezberlemeyi önermiyoruz çünkü; birçok pozisyonda arada bloke eden kapıların olması bu rakamları anlamsız hale getirecektir ancak; 6 hane uzaklıktaki bir pulun kırılma ihtimalinin 17/36 ile en yüksek rakam olduğunu sonra sıralamanın 5, 4, 3, 2, 1 olarak gittiğini bilmenizde fayda var. Belki bir de 4 ve 5 mesafesinin ikisinin de 15 atışla kırılabildiğini hatırlamak ve bazı durumlarda 4 ve 5 uzakta kalmak arasında tereddüt etmemek istersiniz.

Şimdi son olarak aşağıdaki örneğe bakalım:

Örnek 3

Beyaz 97 pip
Siyah 75 pip
Siyah 4-3 oynayacak
XGID=-BBCbBC-B——-A–cccbb–:0:0:1:43:0:0:3:0:10

Bu pozisyonda Siyahın sahip olduğu en önemli değeri yok ederek 5 kapısını açmasının akılcı bir hamle olmayacağının teşhisini koyduktan sonra tartışılabilir 2 mantıklı hamle kalıyor: Birincisi 16/13, 6/2 oynamak, ikincisi ise 16/12, 6/3 oynamak.

Vurulmak, bütün avantajın gitmesi ve çok büyük ihtimalle oyunu kaybetmek demek. Bu durumda Siyah 16/13 yaparak ya 9 pip uzakta kalmayı seçecek ya da 16/12 yaparak 8 pip uzakta kalmayı tercih edecek.

Yukarıdaki tabloya göre 9 pip uzakta kalmayı seçerse 5 atışta vurulabilir, 8 pip uzakta kalmayı seçerse 6 atışta vurulabilir. Bu durumda daha uzakta kalmak daha az riskli. Ancak pozisyona dikkatle baktığınızda Beyazın 2-2 ve 4-4 zarlarının kırma yönünde çalışmadığını göreceksiniz. Bu durumda Beyazın toplamı sekiz yapan 4 atışı kalıyor (5-3 ve 6-2).

Buna göre 5 yerine 4 atış bırakarak 16/12, 6/3 oynamak çok daha iyi bir hamle olacaktır.

Bundan sonra yazacaklarımız yukarıdaki açıklamalarımızın matematiksel boyutudur. Okumamanız çok şey kaybettirmeyecektir.

Hilesiz ve 6 yüzü olan hassas bir zarı tahtaya attığınızda her yüzünün gelme olasılığı yani her olayın gerçekleşme olasılığı aynıdır: 1/6

Buna göre 2 zarı birlikte attığınızda her iki zarın da 6 tane yüzü olduğu için 6 x 6 = 36 farklı olay gerçekleşebilir. Her bir olayın gerçekleşme olasılığı aynıdır, yani 1/36 dır. Örneğin 1-2 zarının da 2-1 zarının da gelme olasılığı 1/36 dır dolayısıyla zarlardan birinin 1 diğerinin 2 gelme olasılığı toplamda 1/36 + 1/36 = 2/36 dır.

Oynarken renk ayrımı yapmadığımız için 1-2 ve 2-1 gib zarları tek kabul edersek yani bu iki olayı birbirinden ayırt etmezsek 21 farklı olay ile karşılaşırız. Ancak o zaman da her bir olayın gerçekleşme olasılığı aynı olmaz.

Bir çift zarı tahtaya attığınızda zarlardan en az bir tanesinin istediğimiz bir sayı olma olasılığı örneğin 3 olma olasılığı için 3 durum vardır:

  • • Kırmızı zar ile 3 gelebilir ve beyaz zar ile 3 haricinde bir sayı gelebilir: 1/6 x 5/6 = 5/36
  • • Kırmızı zar ile 3 haricinde bir sayı gelebilir ve beyaz zar ile 3 gelebilir. 5/6 x 1/6 = 5/36
  • • Hem kırmızı hem beyaz zar ile 3 gelebilir 1/36

Yani toplamda 5/6 + 5/6 +1/6 = 11/36 olasılıkla iki zardan en az biri 3 gelebilir.

İki zardan en az bir tanesinin istediğimiz bir sayı olma olasılığı 11/36 ise ikisinden birinin istediğimiz iki sayıdan en az bir tanesi olma olasılığı, örneğin 3 veya 5 olma olasılığı ise şöyle hesaplanır:

(11/36 + 11/36) – (2/36) = 20/36 yani 3 ve 5 in bireysel gelme olasılığı toplamlarından 3 ve 5 in birlikte gelme olasılığını mükerrer sayım yapmamak çıkarırız.

Bu durumda 4 kapıya gele atma olasılığı da 36/36 -20/36 = 16/36 olarak hesaplanabilir. Ya da sadece 3 ve 5 kapıları açık ise bir zarla 3 veya 5 atmama olasılığı 4/6, diğer zarla da aynı şekilde 4/6 dır. İki zarı birlikte attığınızda ise 4/6 x 4/6 = 16/36 olasılıkla 4 kapıya gele atarsınız.

Atila Malçok, Sabri Büyüksoy

Facebookmail
tavlavehayat on Facebooktavlavehayat on Youtube
tavlavehayat
Tavla ile hayatı örtüştürüp güzellikler aksettirmeyi hedefliyoruz.
---
For the sake of beauty we aim to interweave backgammon and life together.

Published by

tavlavehayat

Tavla ile hayatı örtüştürüp güzellikler aksettirmeyi hedefliyoruz. --- For the sake of beauty we aim to interweave backgammon and life together.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *