Son Hamle Kararları

Oyunun başında 15 açılış zarını ezberlemek zor değil. Hatta bu açılış zarlarına verilecek 400 civarında cevabın ezberi de belki mümkün olabilir. Ancak üçüncü zardan sonra herhangi bir pozisyonu ezberlemiş olmanın imkanı kalmıyor maalesef. Bundan sonrası için doğru oyun; referans pozisyonlara benzerlikler, ikinci seçeneklerin zayıflığı ve tüm bunları değerlendirecek oyun bilgisi ve tecrübe gibi değişkenlerle doğru orantılı oluyor.

Son hamlelerde ise durum biraz farklı. Oyun artık gelişmeyeceği ve yeni senaryolar söz konusu olmayacağı için biraz zaman ayırıp kar/zarar hesabı yapınca hatasız bir hamle yapmak, hem pul oyunu hem de küp kararları için çok da zor görünmüyor.

Aşağıdaki pozisyon Phil Simborg’un Facebook hesabından paylaşılmış ‘limitsiz’ (Money Game) bir oyuna ait.

Oyunda kırmızı 5-1 atmış. Kırmızı olduğumuzu varsayarsak burada iki seçeneğimiz var. Ya katmerli mars riskini göze alıp içerde bekleyerek rakibin açık vermesi için dua edeceğiz, ya da dışarı çıkıp marsa razı olarak katmerli marstan kurtulacağız. Öncelikle seçenek sonuçlarına bir bakalım.

Seçenek 1: Çıkmamız durumunda 6 yerinde 4 sayı vermeye razı oluyoruz.

Seçenek 2: Beklememiz durumunda ise rakip 11/36 zarda katmerli mars (backgammon) yapıyor ve 6 sayı alıyor. Geriye kalan 24/36 zarda açık veriyor (açık vermeyip, katmerli mars yapmayan tek zar 1-1’i çıkarınca kalan zar sayısı) ve biz 8 zarda vurarak marsı kurtarıyoruz (belli bir sayının gelme olasılığı yaklaşık 1/3 olduğu için). 4/36 zarda ise rakip iki açık birden veriyor.

Rakip açık verir ve vurursak marsı kurtarıyor ve çok az da olsa maçı kazanma şansı yakalıyoruz. İki açık yakalarsak küpü çevirme şansımız dahi olabiliyor ancak bu oldukça düşük bir ihtimal.

Düşük ihtimalleri kesin rakamlarla hesaplayarak zaman ve enerji kaybetmek ve yapacağımız hesabı karmaşıklaştırmaktansa benim önerim iki taraftaki düşük ihtimalleri kabaca sadeleştirme yoluna gitmek. Sadeleşmiyorsa da hesaplamalar sonunda çıkan farkın yüzdesine bakmak.  Zira sonuç olarak anlamlı bir farka ulaşırsak düşük ihtimallerle zaman kaybetmemize bu aşamada gerek olmayacaktır.

Artık senaryolara göre kar/zarar hesabı yapmaya başlayabiliriz.

Bu pozisyonu 36 kez oynadığımızı ve her seferinde rakip alandan çıktığımızı varsayarsak kaybedeceğimiz toplam sayı 36*4= 144 olacaktır. (Maç esnasında kalem kullanmadan bir sayıyı 36 ile zihnimizde çarpmak kolay olmayacaktır elbet. Ben yöntem olarak 40 ile çarpıp bulduğum rakamdan yüzde 10’u çıkarıyorum. 4*40=160-16=144. Böylece çok daha hızlı hesap yapmam mümkün oluyor).

Şimdi de içeride beklemeyi tercih ettiğimizde kaybımızı hesaplayalım. Rakip 11 oyunda 2 pulunu birden toplayarak katmerli mars yapıyor. Bu durumda kaybımız 11*6=66. 24 oyunda ise rakip açık veriyor ve biz 8’inde vuruyoruz (herhangi bir sayının gelme ihtimali yaklaşık 1/3 olduğu için). Tek pul kırarak maçı kazanma ihtimaliz de var ama çok güçlü olmadığı için sadece marsı kurtarabileceğimizi varsayıyoruz. Böylece vurursak toplam kaybımız 8*2= 16 oluyor.  16 zarda ise marsı kurtaramıyoruz ama çok büyük ihtimalle katmerli marstan kurtuluyoruz. Kaybımız ise burada 24*4=96 oluyor.

Bu ihtimallerin yanı sıra iki kırığı birden vurup maç kazanma ihtimaliz ya da vuramayıp içerden de çıkamama ihtimallerimiz de var. Ancak bu iki ihtimali de diğer çok küçük ihtimallerle birlikte göz ardı ediyoruz.

Sonuç olarak içerde beklememiz durumunda 36 oyun sonunda toplam kaybımız kabaca 96+66+16= 178, çıkmamız durumunda ise 144 olacaktır. (Hesap yaparken toplanacak rakamları akılda tutmak, başka bir hesaba başlarken önceden bulunan rakamı unutmamak hiç de kolay değil kuşkusuz, ancak ben rakamları kodlamanın bu konuda işe yarayacağı kanısındayım. Yozgat + Bursa + eski arabamın modeli gibi. Ya da rakamları sırayla aşağıya ve yukarıya doğru yuvarlayarak yaklaşık bir sonuca ulaşabiliriz, 100+60+20=180 gibi)

Kısacası hayatımız boyunca bu pozisyonla 36 kez karşılaşırsak ve her seferinde rakibin alanından dışarı çıkarsak toplam kaybımız 178-144= 34 puan daha az olacak. Neredeyse her oyunda ortalama 1 puan daha az kaybedeceğiz. Zaman kaybı olmaması için hesaplamaktan imtina ettiğimiz küçük ihtimallerin hepsi aleyhimize olabilir belki. Ancak bu durumda bile sonuç olarak en fazla bulduğumuz farkın kapanabileceğini ve bunun seçimimizin yanlış olduğunu gösterecek kadar anlamlı bir fark yaratmayacağını kabul edebiliriz.

Bu hesaplamalara ek olarak maç oyunlarında skoru da gözetmeliyiz. Örneğin 11’de biten maçta rakip 6-5 önde ise katmerli mars olmamız durumunda kaybedeceğimiz sayı 6 değil 5’tir. Hesap yaparken katmerli mars olacağımız zarları bu nedenle 6 yerine 5 ile çarpmamız gerekmektedir.

Nadiren karşılaşacağımız kritik son hamle kararlarında bütün bu hesaplar biraz zamanımızı alabilir ve yorucu görülebilir, ancak zor bir hamleyi analiz sonucu doğru yapmış olarak görmenin mutluluğu bence her şeye değer.

Tavla Matematik İle Daha Güzel – Engin Öngel’den Bir Kitap

Engin Öngel tavlanın güzelliklerini matematik lisanı ile sunuyor. Türkiye’de doğmuş İngiltere’de yaşamını sürdüren Engin Öngel fizik ve uygulamalı matematik alanında çalışmalar ve hocalık yaptı. 1984 yılında Çağdaş Tavla Teknikleri adıyla Türkçe bir kitap yazarak ilk Türkçe tavla kitabını bizlere sunmuştu. Backgammon is More Beautiful With Mathematics adlı son kitabını ise şimdilik İngilizce olarak yayınladı.

Son yirmi yılda geliştirilen bilgisayar programları doğru hamleleri işaret etmekte başarılı olsa da matematiksel sebepleri izah edememekte. Kitap tavla dünyasındaki oyuncuları, yazarları, teknoloji geliştirenleri ve salt matematiksel olarak ilgilenenleri daha yukarı seviyelere taşımak üzere üç ana temadan oluşuyor. Olasılık teorisi, diziler, beklenen değer gibi kavramlar ilk temayı oluşturuyor. İkinci olarak sunulan kısa yollar oyun içerisinde doğru karar için harcanması gereken düşünsel emek ve zamandan tasarruf sağlamayı hedefliyor. Ayrıca derin matematiksel yönelimli meraklılar ve yazarlar içinse ispatlar sunulmuş.

Engin Öngel ‘in kitabı tavlanın oyunlar ve matematik dünyasındaki cazibesini ortaya koyması ve okullu bakışa destek sağlaması açısından paha biçilemez bir eser. İnşallah Türkçe çevirisine de yakında kavuşuruz. Kitabın bir bölüm başında bulunan Carl Friedrich Gauss’dan bir alıntıyla bitirelim: “Bilimlerin kraliçesi matematik, matematiğin kraliçesi de aritmetiktir.”

Şanssızlığa Teslim Olmak

İyi oyun ‘şanslı zarları’ artırıp kötü zarları azaltır. Kaybeden oyuncu sürecin farkında değilse eğer olan biteni kendisinin şansız, rakibin de çok şanslı olduğunu söyleyerek açıklamaya çalışır. Örneğin rakibin bir açığını kıramamayı çok büyük şansızlık olarak görürken, en olası kırma ihtimalinin bile (6 pip uzaklık – yüzde 47) yüzde 50’nin altında olduğunu bilmez. Hamlelerini olasılık hesaplarından bağımsız ‘içinden geldiği gibi’ yapanlar kaybetmeye ve sonuçta kendini şansız olarak tanımlamaya mahkum olur. Kötü oyun da kaçınılmaz olarak kişiyi şanssız hissettirir. Peki şansız hissetmek oyunu nasıl etkilemektedir?

Chelsea Wald’ın ‘How to be Lucky’ isimli makalesi şanslı veya şansız hissetmenin bilişsel süreçler üzerindeki etkisini konu alıyor. Makalede anlatıldığı üzere Psikolog John Maltby 2013 yılında yaptığı bir araştırmada kendini şanssız hissedenlerin diğerlerine göre daha az yaratıcı düşünceye sahip olarak görevler arasında geçiş yapma yeteneklerinin daha kısıtlı olduğu sonucuna ulaşmış. Maltby 2015 yılında gerçekleştirdiği bir başka deneyde ise kendini şanslı ve şansız olarak tanımlayan 10’ar öğrenciyi denek olarak kullanarak şanslı olduğunu hisseden öğrencilerin beyinlerinde daha fazla elektriksel aktivite olduğunu saptamış. Maltby bu durumu ‘şansız olduğuna inanan insanların bunu değiştirmek için yaratıcı düşünmeye ve çözüm üretmeye gerek duymamalarıyla’ yani başka bir deyişle şansızlığa teslim olmalarıyla açıklamış. Özet olarak, bu araştırmalar sonucunda, kötü oyununun kişiyi şansız hissettirmesinin yanında, şansızlık hissinin de ilginç bir biçimde kötü oyunu beslediğini görüyoruz.

Öte yandan Victoria Prowse ve David Gill tarafından yapılan cinsiyet rolünün etkisi üzerine bir başka ilginç araştırma ise bilgi ve şansın bir arada olduğu oyunlarda kaybeden kadınların erkeklere göre şansızlık hissine daha kolay teslim olduğunu, ve şansız olarak kaybettikleri oyunlardan sonra daha düşük bahisler için bile tekrar oynamaktan kaçındıklarını ortaya koymuş. Belki bu araştırma, sadece geleneksel Ortadoğu’da değil modern batı toplumlarında dahi neden çok az kadın oyuncunun tavla turnuvalarına katıldığı ve Giant listesinde Akiko Yazawa dışında neden başka bir kadın oyuncu olmadığı konusunda bize bir fikir verebilir.

Not: Bu makale ile tanışmama vesile olan Phil Simborg’a teşekkürler.